AI 剛剛解決了一個 350 年的數學問題，並寫下了有史以來最長的證明

Anthropic 表示，其 Claude AI 剛剛寫下了有史以來最長的數學證明，並用它正式證明了費馬最後定理，這是一個困擾數學家達 358 年的問題。

Claude 在 11 天內完成了這項工作，主要是靠自己，產生了 1300 萬行代碼，計算機可以逐行檢查，而不僅僅是依賴數學家的口頭證明。

費馬最後定理指出，你不能取三個正整數，將每個數字提升到高於 2 的次方，並使前兩個數字相加等於第三個數字。他在 1637 年的數學書邊緣上潦草寫下了這一主張，並補充說他有一個「真正奇妙的證明」，但邊緣太小無法容納。

然後他去世了。數學家們花了接下來的 358 年試圖重建他認為自己擁有的東西。

證明某事和檢查它是兩個不同的工作

數學證明是一系列邏輯步驟，如果其中一個環節斷裂，整個證明就會崩潰。找到那個斷裂的環節，埋藏在百頁密集的論證中，可能需要其他數學家耗費數年的生命。

正式化證明意味著將其翻譯成一種極其字面化的語言，以便計算機可以獨立驗證每一步，而不進入主觀性。

數學家們在這方面一直做得不好。1908 年，一個價值約 100 萬到 200 萬美元的德國獎項，提供給第一個有效證明該定理的人，第一年就收到了 621 份錯誤的提交。

真正的證明直到 1995 年才出現，來自英國數學家安德魯·懷爾斯，並且伴隨著情節的轉折。懷爾斯在 1993 年 6 月的三次講座中宣布了他的解決方案，卻被一位審稿人發現了漏洞。

他花了將近一年時間與前學生理查德·泰勒一起修正，幾乎放棄，最終在 1995 年 5 月發表了一份修正的 129 頁證明。這一證明依賴於費馬生前並不存在的數學，這也是數學家們現在懷疑費馬的「奇妙證明」是否真的有效的主要原因。

倫敦帝國學院的數學家凱文·巴扎德在 2024 年啟動了一個項目，正是要做 Claude 剛剛完成的事情：將懷爾斯的證明翻譯成 Lean，一種計算機可以檢查的語言。這是一項需要大量志願數學家參與的工作——該項目的大綱長達 86 頁，資金已鎖定至 2029 年。

Claude 在 11 天內完成了整個項目。

Claude 是如何做到的

Anthropic 在一篇更深入的文章中解釋，與哥倫比亞大學的團隊一起構建 AI 正式化工具的彭天毅，決定看看 Claude 能獨立完成多遠。數十個 Claude 代理並行工作，撰寫定義，證明小結果，並將這些結果堆疊成更大的結果，幾乎沒有人的干預，偶爾的提示如「下個優先證明這個定理」。

一開始並不順利。早期，代理們不斷失去對已證明內容的追蹤，停止合作，這些錯誤的開始仍然佔據了最終證明中約 7% 的行數。

解決這個問題的是一個名為 Prove2Me 的工具，也是彭的團隊所建，為每個代理提供了相同的實時待辦事項列表，列出哪些小證明仍需完成，這樣沒有人會重複工作或迷失方向。它還組織了文件，以便 Lean 可以更快地檢查所有內容，並對每個結果保持簡單的英文註釋，以便代理可以重用彼此的工作，而不是重新發明輪子。

當一切完成時，Claude 已經證明了超過 30,000 個支持定理，消耗了數十億個標記，運行在一個研究模型上，Anthropic 表示這個模型大致可與 Claude Fable 5.1 相比，這是它後來向公眾發布的版本。最終的證明長達 1300 萬行——是數學家們已經用於這類工作的共享庫 Mathlib 的五倍多。

一本典型的小說約有 80,000 字。Claude 的證明相當於 160 本純邏輯論證的小說。

那這真的重要嗎？

巴扎德——他自己的這個項目資金仍然持續到 2029 年——審查了 Claude 的證明並給予了他的認可，表示它在「除了數學公理之外沒有其他假設的情況下證明了該定理」。

這並不意味著 Claude 發現了全新的數學，Anthropic 今年早些時候在其密碼學研究中也聲稱過。懷爾斯三十年前已經證明了費馬的定理——Claude 只是為其建立了一個機器可檢查的收據。這很重要，因為數學家們越來越被未經驗證的證明淹沒，包括 AI 編寫的證明，速度快於人類手動檢查的速度。

此外，這類證明是確定性的，不易受到人為錯誤的影響，這在數學中非常重要。

這不是一個新問題。基於計算機的凱普勒猜想證明花了四年時間，審查小組才僅僅承諾「99% 確定」，而格里戈里·佩雷爾曼的庞加莱猜想證明也花了差不多的時間才完全被接受。

如果你不想聽信 Anthropic 的話，你不必。完整的 1300 萬行證明目前就放在 GitHub 上，任何有足夠空閒時間的數學家都可以逐行挑剔。

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